وللإجابة على هذا التساؤل لنجرب رسم مستطيلات (بدلاً عن المربعات )، على أضلاع المثلث القائم ثم نحسب مساحة كل مستطيل وبعدها نُجري المقارنة، سنجد بعض الحالات تتحقق فيها النظرية وبعض الحالات لا تتحقق.
وهذا يقودنا إلى سؤال أخرى: متى تتحقق النظرية إذاً؟، وهل هناك شروط محددة وكافية بحيث إذا وجدت هذه الشروط فإن النظرية تصبح صحيحة مهما كان الشكل الهندسي المستخدم؟
بالتجريب والمقارنة يمكن أن نصل إلى تعميم مهم جداً لنظرية فيثاغورس بحيث نضمن تحققها لاي شكل هندسي أخر غير المربع، بل نذهب لأبعد من ذلك ونقول أن النظرية صحيحة حتى لو كانت الأشكال المنشأة على أضلاع المثلث القائم هي أشكال مركبة، أي مكونة من دمج شكلين هندسيين أو أكثر، طالما تحقق الشرطين التاليين :
- يجب أن تكون الأشكال المرسومة على أضلاع المثلث القائم متماثلة.
- لابد أن تكون الأشكال المتماثلة لها نفس نسبة التشابه.
إذا تحقق الشرطان السابقان فإن نظرية فيثاغوس تتحقق دائماً.
ولكن لماذا اشتهرت النظرية بالمربعات فقط بينما هي صحيحة لأي شكل أخر؟
والسبب في ذلك أن المربعات دائماً تحقق الشرطين المذكورين ( التماثل ونسبة التشابه بين ضلعي أي مربع دائما تساوي 1).
ونلاحظ أيضا أن أنصاف الدوائر المرسومة على أضلاع المثلث القائم تحقق نظرية فيثاغورس دائماً لأنها متماثلة ولها نفس نسبة التشابه ونقصد هنا النسبة (ط=3,14).
وهنا مثال للتوضيح على مستطيلات (متماثلة) وجميعها لها نفس نسبة التشابه = 1/2:
هناك تعميمأ أكثر من هذا في الفراغ، لكن المجال لا يتسع لذكره الآن
ردحذف